Теория бифуркаций проявляется повсеместно в естествознании. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых, не известны. Если уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым, то есть поведении его решении может качественно измениться при сколь угодно малом изменении правой части, то необходимо определить, какие бифуркации фазового портрета происходят при изменении параметров
Рассмотрим установку Microsoft Cognitive Toolkit (CNTK) на основе дистрибутива, подготовленного разработчиками. Он предназначено для установки на один ПК . Microsoft Cognitive Toolkit проверен на Windows, 8.1, Windows 10 и Windows Server 2012 R2.
Обучение по направлению “Управление в технических системах” предполагает подготовку специалистов, владеющих базовыми знаниями в области теории, аппаратных и программных средств построения систем автоматического управления техническими объектами.
Слов «бифуркация» означает «раздвоение» и употребляет как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любо системе: динамической, экологической и т. д.
Бифуркации имеют фундаментальное значение при исследовании поведения динамических систем. Часто именно бифуркации определяют механизм возникновения многих сложных процессов.
Рассмотрим способ построения бифуркационных диаграмм для простейших систем с помощью Maxima
В математике, особенно при изучении динамических систем, под понятием бифуркационная диаграмма подразумевают изображение на рисунке смены возможных динамических режимов системы (равновесных состояний, стационарных точек, периодических орбит и пр.) при изменении значения бифуркационного параметра. [Википедия].
Таким образом на диаграмме отражена динамика изменения положений равновесия в зависимости от изменения некого параметра системы.
Построение диаграммы рассмотрим на примере седло-узловой бифуркации в системе, описываемой д.у.
где λ — варьируемый параметр (В среде Maxima будем использовать L). Необходимо определить равновесные решения. Для этого воспользуемся командой
b4_1: solve(L-x^2=0, x);
(b4_1)[x=-sqrt(L),x=sqrt(L)]
Теперь для построения диаграммы воспользуемся командой:
Как видно из рисунка, из точки бифуркации выходят две ветви равновесных состояний, одна из которых устойчивая, а вторая — неустойчивая. При варьировании параметра в сторону увеличения значений из «ничего» рождаются два состояния равновесия, одно из которых устойчиво. Бифуркации такого рода относят к типу «седло-узел».
plot2d() — построение двумерного графика
rhs() — получение правой части равенства, в нашем случае функции x(L)
[ xlabel, «L» ] — Задаем название оси X
[ ylabel, «Точки равновесия» ] — Задаем название оси Y
[legend, false] — отключаем легенду
Больше информации о бифуркациях и больше примеров ищите на digiratory.ru