Слов «бифуркация» означает «раздвоение» и употребляет как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любо системе: динамической, экологической и т. д.
Бифуркации имеют фундаментальное значение при исследовании поведения динамических систем. Часто именно бифуркации определяют механизм возникновения многих сложных процессов.
Рассмотрим способ построения бифуркационных диаграмм для простейших систем с помощью Maxima
В математике, особенно при изучении динамических систем, под понятием бифуркационная диаграмма подразумевают изображение на рисунке смены возможных динамических режимов системы (равновесных состояний, стационарных точек, периодических орбит и пр.) при изменении значения бифуркационного параметра. [Википедия].
Таким образом на диаграмме отражена динамика изменения положений равновесия в зависимости от изменения некого параметра системы.
Построение диаграммы рассмотрим на примере седло-узловой бифуркации в системе, описываемой д.у.
где λ — варьируемый параметр (В среде Maxima будем использовать L). Необходимо определить равновесные решения. Для этого воспользуемся командой
b4_1: solve(L-x^2=0, x);
(b4_1)[x=-sqrt(L),x=sqrt(L)]
Теперь для построения диаграммы воспользуемся командой:
Получим следующий результат:
Как видно из рисунка, из точки бифуркации выходят две ветви равновесных состояний, одна из которых устойчивая, а вторая — неустойчивая. При варьировании параметра в сторону увеличения значений из «ничего» рождаются два состояния равновесия, одно из которых устойчиво. Бифуркации такого рода относят к типу «седло-узел».
plot2d() — построение двумерного графика
rhs() — получение правой части равенства, в нашем случае функции x(L)
[ xlabel, «L» ] — Задаем название оси X
[ ylabel, «Точки равновесия» ] — Задаем название оси Y
[legend, false] — отключаем легенду
Больше информации о бифуркациях и больше примеров ищите на digiratory.ru