В заключительной части серии статей про автоколебания рассмотрим способы исследования устойчивости  периодических режимов, основанные на методе гармонического баланса.

Устойчивость периодических режимов

Наличие в нелинейной системе автоколебаний можно определить по наличию устойчивого периодического решения уравнения, полученного при гармонической линеаризации.

Так как метод гармонического баланса является приближенным, то и основанный на нем метод определения устойчивости является приближенным. Рассмотрим идею метода.

Напомним, что характеристический полином гармонически линеаризованной системы \(D_c(S, A^*) \) имеет пару мнимых корней \(\pm j \omega^* \), а остальные корни — левые. При этом колебания на входе нелинейного элемента по форме близки к гармоническим с амплитудой и частотой близкими к \(A^*\)  и \(\omega^* \), соответственно.

Предположим, что возмущения привели к изменению амплитуды \(A^* \pm \Delta A \), тогда характеристические полиномы \(D_c(S,A^* \pm \Delta A)\) уже не будут иметь чисто мнимых корней. Рассмотрим два возможных варианта, соответствующих устойчивому и неустойчивому предельному циклу.

В первом случае автоколебания устойчивы, тогда требуются следующие условия.

1. Полином \(D_c(S,A^* + \Delta A)\) имеет все корни в левой полуплоскости, что позволяет говорить, что система в таком случае устойчива и при изменении (увеличении) амплитуды, колебания будут затухать до исходной амплитуды \(A^*\).
2. Полином \(D_c(S,A^* — \Delta A)\) имеет пару корней в правой полуплоскости, что позволяет говорить, что система в таком случае не устойчива и при изменении (увеличении) амплитуды, колебания будут расходиться до исходной амплитуды \(A*\).

Во втором случае автоколебания неустойчивы, и требования к изменению корней следующие.

1. Полином \(D_c(S,A^* + \Delta A)\) имеет пару корней в правой полуплоскости, что позволяет говорить, что система в таком случае не устойчива и при изменении (увеличении) амплитуды, колебания будут расходиться.
2. Полином \(D_c(S,A^* — \Delta A)\) имеет все корни в левой полуплоскости, что позволяет говорить, что система в таком случае устойчива и при изменении (увеличении) амплитуды, колебания будут затухать до \(0\).

Исходя из вышесказанного, для определения устойчивости периодических решений к полиному \(D_c(S, A^*)\) дважды применяется критерий Гурвица (Рауса) — для \(A = A^* + \Delta A)\) и \(A = A^* — \Delta A)\), что является завершающей частью метода Е.П. Попова.

Источник

• Теория автоматического управления: Учеб. для вузов/С.Е. Душин, Н.С. Зотов, Д.Х. Имаев и др.; Под ред. В.Б. Яковлева. — М.: Высшая школа, 2003. — 567 с.

Оглавление

1. Автоколебания. Введение
2. Автоколебания. Гармоническая линеаризация
3. Автоколебания. Определение параметров периодических режимов
4. Автоколебания. Устойчивость