Основные свойства математического ожидания и дисперсии

В заметке рассмотрены основные свойства математического ожидания и дисперсии с доказательствами.

В статье приняты следующие обозначения:

\(a \) — неслучайная величина (константа)

\(X, Y \) — случайные величины

\(M[X]\) — Математическое ожидание X

\(D[X]\) — Дисперсия X

Математическое ожидание

Математическое ожидание неслучайной величины

\[ M[a] = a\]

Доказательство:

Доказать, это достаточно очевидное, свойство можно, рассматривая неслучайную величину как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:

\[ M[a] = a * 1 = a \]

Математическое ожидание линейно

\[ M[aX + bY] = aM[X] + bM[Y]\]

Доказательство вынесения неслучайной величины за знак математического ожидания

\[ M[aX] = a M[X] \]

Доказательство прямо следует из линейности суммы и интеграла.

Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин — как зависимых, так и независимых.

Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых.

Для дискретных величин

\[ M[aX] = \sum_{i} a x_i p _i  = a  \sum_{i} x_i p_i = a M[X]\]

Для непрерывных величин

\[ M[aX] = \intop_{ \infty }^{\infty} a  x f(x) dx  = a  \intop_{ \infty }^{\infty} x f(x) dx = a M[X]\]

Доказательство математического ожидания суммы случайных величин

а) Пусть \((X, Y) \) — система дискретных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу для математического ожидания функции двух аргументов:

\[ M[X + Y] = \sum_{i} \sum_{j} (x_i + y_i) p_{ij}  \\
= \sum_{i}\sum_{j} x_i p_{ij} + \sum_{i}\sum_{j} y_i p_{ij} \\
= \sum_{i} x_i\sum_{j} p_{ij} + \sum_{j} y_j\sum_{i} p_{ij} \]

Но \(\sum_{j} p_{ij} \) представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина \(X \) примет значение \(x_i \):

\[ \sum_{j} p_{ij} = P(X = x_i) = p_i \]

следовательно,

\[  \sum_{i} x_i\sum_{j} p_{ij} = \sum_{i} x_i p_i = M[X] \]

Аналогично докажем, что

\[ \sum_{j} y_j\sum_{i} p_{ij} = M[Y] \]

б) Пусть \((X, Y) \) — система непрерывных случайных величин.

\[ M[X + Y] = \int \intop_{ \infty }^{\infty } (x+y) f(x,y) dx dy = \int \intop_{ \infty }^{\infty } x f(x,y) dx dy + \int \intop_{ \infty }^{\infty } y f(x,y) dx dy \]

Преобразуем первый из интегралов:

\[ \int \intop_{ \infty }^{\infty } x f(x,y) dx dy = \intop_{ \infty }^{\infty } x (\intop_{ \infty }^{\infty } f(x,y)dy) dx = \intop_{ \infty }^{\infty } x f_1(x) dx = M[X] \]

аналогично второй:

\[ \int \intop_{ \infty }^{\infty } y f(x,y) dx dy = M[X] \]

Математическое ожидание произведения

Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

\[ M[XY] = M[X] M[Y] + cov(XY)\]

для независимых величин:

\[ M[XY] = M[X] M[Y] \]

Доказательство

Будем исходить из определения корреляционного момента:

\[ cov(X,Y) = M[ \stackrel{ \circ }{X} \stackrel{ \circ }{Y} ] = M[(X- M[X])(Y-M[Y])] \]

Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:

\[ cov(X,Y) = M[(X- M[X])(Y-M[Y])] = \\
M[XY] — M[X] M[Y] — M[Y]M[X] + M[X]M[Y] = \\
M[X Y] — M[X] M[Y] \]

что, очевидно, равносильно доказываемому соотношению

Дисперсия

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания.

\[ D[X] = M[X^2] — (M[X])^2 \]

Дисперсия не зависит от знака

\[ D[-X] = D[X] \]

Дисперсия суммы случайной и постоянной величин

\[ D[X+b] = D[X] \]

Дисперсия неслучайной величины

\[ D[a] = 0 \]

Доказательство:

По определению дисперсии:

\[ D[a] = M[\stackrel{ \circ }{a^2}]  = M[a — M[a]^2 ] = M[(a-a)^2] = M[0] = 0\]

Дисперсия суммы случайных величин

\[ D[X+Y] = D[X] + D[Y] + 2*cov(X,Y) \]

Доказательство:

Обозначим \(XY = Z \).

По теореме сложения математических ожиданий:

\[ M[Z] = M[X] + M[Y] \]

Перейдем от случайных величин \(X, Y, Z \).  к соответствующим центрированным величинам \(\stackrel{ \circ }{X}, \stackrel{ \circ }{Y}, \stackrel{ \circ }{Z} \), имеем:

\[  \stackrel{ \circ }{Z} =  \stackrel{ \circ }{X} + \stackrel{ \circ }{Y} \]

По определению дисперсии

\[ D[X+Y] = D[Z] = M[\stackrel{ \circ }{Z}^2] = M[\stackrel{ \circ }{X}^2] + 2M[\stackrel{ \circ }{X} \stackrel{ \circ }{Y}] + M[\stackrel{ \circ }{Y}^2] \\
= D[X] + 2 cov(X,Y) + D[Y] \]

Дисперсия произведения неслучайной величины на случайную

\[ D[aX] = a^2 D[X]\]

Доказательство:

По определению дисперсии

\[ D[aX] = M[(a X — M[a X])^2] = M[(a X — a M[X])^2] = a^2 M[(X — M[X])^2] = c^2 D[X] \]

Дисперсия произведения независимых величин

\[ D[XY] = D[X] D[Y] + (M[X])^2 D[Y] +  (M[Y])^2 D[X]\]

Доказательство:

Обозначим \(XY = Z \). По определению дисперсии

\[ D[XY] = D[Z] = M[Z^2] = M[Z-M[Z]]^2\]

Так как величины \(XY\) независимы, то \(M[Z] = M[X]M[Y]\) и

\[ D[XY] = M[(XY — M[X]M[Y])^2] \\

= M[X^2 Y^2] — 2M[X]M[Y]M[XY]+ M[X]^2M[Y]^2 \]

При независимых  \(XY\) величины  \(X^2Y^2\) также независимы, следовательно:

\[ M[X^2 Y^2]  = M[X^2] M[Y^2], M[XY] = M[X]M[Y]\]

и

\[ D[XY] = M[X^2]M[Y^2] — M[X]^2M[Y]^2 \]

но \(M[X]^2\) есть не что иное, как второй начальный момент величины \(X\) , и, следовательно, выражается через дисперсию:

\[ M[X^2] = D[X]+M[X]^2 \]

аналогично

\[ M[Y^2] = D[Y]+M[Y]^2 \]

Подставляя эти выражения и приводя подобные члены, приходим к формуле

\[ D[XY] = D[X] D[Y] + (M[X])^2 D[Y] +  (M[Y])^2 D[X]\]

0
Поделиться

Добавить комментарий